Математика 6 класс, докрад, реферат, сообщение, проект: Дружественные числа.
Муниципальное бесплатное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №__ г. Краснодара
Доклад
Дружественные числа
Выполнил: ученик 6 «___» класса
_______________________
Краснодар 20__
Дружественными числами называются такие два числа, что сумма делителей первого (кроме его самого) равна второму, а сумма делителей второго (опять же кроме его самого) равна первому.
Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284 (Делители для 220 это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284. Делители для 284 это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220).
Первым из сохранившихся документов, содержащих упоминание о дружественных числах, является трактат «Изложение пифагорейского учения», написанный в III в. н.э. Ямвлихом из Хальциса. Ямвлих рассказывает, как однажды великий Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, ответил: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». К сожалению, более ранних свидетельств не сохранилось. Возможно, это связано с тем, что пифагорейская школа наряду с числовым мистицизмом и культом дружбы славилась еще и приверженностью к таинственности. Разглашение добытых математических знаний считалось кощунством.
Средневековые математики приписывали дружественным числам сверхъестественные свойства, единодушно настаивая на возможности их практического использования. Так, ибн Хальдун приводит в своем трактате руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый аль-Маджрити приводит следующий рецепт: «Чтобы добиться взаимности в любви, нужно на чем-либо написать числа 220 и 284, меньшее дать объекту любви, а большее съесть самому» (ученый добавляет, что действенность этого способа он проверял на себе).
Многие античные и арабские ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав совершенным и дружественным числам. Дань увлечения этими числами отдали Р.Декарт, П.Ферма, Л.Эйлер, А.Лежандр, П.Л.Чебышев и многие другие великие математики. Сегодня на помощь ловцам совершенных и дружественных чисел пришли компьютеры.
Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Одна из них — 17 296 и 18 416. Много столетий спустя знаменитый математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Но общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.
Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На декабрь 2015 года известно 66 591 973 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.
Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.
Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067.
Интересный факт
Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.
Ниже приведены первые 15 пар дружественных чисел
220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
1184 и 1210 (Паганини, 1866)
2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747)
12 285 и 14 595 (Браун, 1939)
17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)
66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)
67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)
69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)
79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)
100 485 и 124 155
122 265 и 139 815