Начните с нескольких основных книг, которые изменят ваши представления о математике.
Лучше всего «ставит голову» книга «Начала теории множеств» Николая Верещагина и Александра Шеня. Она даст основу для понимания (а в дальнейшем и самостоятельного построения!) логических рассуждений. С нее же начнется и понимание теории множеств, лежащей в основе современной математики.
Охватить больше разделов математики поможет книга Рихарда Куранта и Герберта Роббинса «Что такое математика?». Как и книгу Верещагина и Шеня, эту книгу нужно читать внимательно, делая все упражнения.
Если первые две книги окажутся сложными, можете начать с «Математики для гуманитариев» Алексея Савватеева. Ее также следует читать с самого начала, страницу за страницей, не стоит браться за чтение с середины. Она не очень простая, но предварительных сведений и математической культуры не предполагает.
Чтобы понять, каким образом математика входит в нашу жизнь, можно прочитать «Кому нужна математика?» Андрея Райгородского и Нелли Литвак или «Математическую составляющую» (сборник сюжетов под редакцией Николая Андреева).
Смотрите видеолекции. В интернете есть огромное количество научно-популярных лекций по математике:

«Математические этюды» Николая Андреева
Khan Academy
«Математика проста»
«Математика — просто»
и многие другие.
Слушайте про открытые задачи, про знаменитые решенные математические проблемы и про те из решенных задач, над которыми математики ломали голову веками. Это вдохновляет вдумываться в глубокие и сложные рассуждения.

Например, была такая задача античных времен — разделить при помощи циркуля и линейки произвольный угол на три равные части. Сколько было сломано копий, пока в начале XVIII века человечество не накопило достаточно понимания того, что такое вообще вещественное число и какие бывают числа (алгебраические разных «степеней», трансцендентные). Это идея Нового времени, можно сказать, математическая революция нового масштаба, которая произошла в конце XVIII — начале XIX века.

После этой революции стало ясно, что разделить с помощью циркуля и линейки угол на три равные части в принципе невозможно.

Используйте приобретенные знания
Для этого можно использовать различные онлайн-курсы. Например, на Coursera есть «Математика для всех» и «Теория вероятностей для начинающих» от Физтеха. А если знаете английский — «Введение в логику» от Стэнфордского университета или «Курс по тригонометрии» от Университета Калифорнии.